Về nhóm con của nhóm so(3) .pdf

ề tr ủ tế tí ó tể t P tế t
trì ý tết ó tự ể ễ ó tí tự tí tự
ớ ó t
ó tự
ị ĩ ột t S ủ ó F ợ ọ sở tự ủ
F ế ọ : S G từ ột t S ế ó G ề ó tể ở rộ
t t ột ồ : F G s (s) = (s), s S
t ó s ồ
S

F
G











!
ột ó F ợ ọ ó tự ế ó ó ột t sở tự
ủ F
í ụ ét ó C ợ ết t ố ồ
ỹ từ ủ tử a ó C ó
C = { , a
2
, a
1
, 1 = a
0
, a = a
1
, a
2
, a
3
, },
é ợ ị ĩ a
i
.a
j
= a
i+j
ớ i, j Z
ó C ột ó tự ớ sở tự t S {a}.
t ế : S G ột t ì (a) = g G tì ồ
ở rộ : C G ợ ị ĩ ở (a
i
) = g
i
. ể
ở rộ t ú ý r C ò ó ột sở tự ữ ó
t {a
1
} ó sở tự t ủ C. tự t ũ ó
ó số Z ớ C ó tự ớ sở tự
{1} {1}

ể ễ ó ở tử s ệ tứ
ố t ó ết r ột tử s r ó
r ột q ệ ữ ú tờ ù í ệ
G = a
1
, a
2
, a
3
, |u
1
= v
1
, u
2
= v
2
, ,
tr ó a
i
í tự u
j
, v
j
từ t ở a
i
tr ó t
u = v uv
1
= 1 ì tế t ó tể ể ễ ó ớ t

G = a
1
, a
2
, |r
1
= 1, r
2
= 1, ,
tr ó r
i
= u
i
v
1
i
ớ i = 1, 2, 3, ể t í ệ
G = a
1
, a
2
, |r
1
, r
2
, .
ị ĩ ột ể ễ P = S|D ột ồ ột t
S tử s ột t D từ tr S ọ ệ tử ị ĩ
ó ể ễ ở P í ệ gp(P ) ó F
S
/N
D
tr ó F
S

ó tự ớ sở tự S N
D
ó t ủ D tr F
S

ó ó t ỏ t ủ F
S
ứ D. ó ế r D tì
r N
D
ì tế r = 1
gp(P )

ế G = gp(P ) t tờ ết G = S|D tết
ệt ó sự t ó ó ột ể ễ P = S|D ọ ữ
s ế S ó ữ tử q ệ ữ ế D ó ữ
tử ế S D ề ó ữ tử tì P ột ể ễ ữ

ế S = {a
1
, a
2
, a
3
, }, D = {r
1
, r
2
, r
3
, } t sử ụ í ệ
P = a
1
, a
2
, a
3
, |r
1
, r
2
, r
3
, ,
tr trờ ợ r
i
ợ ọ ệ tử
P = a
1
, a
2
, |r
1
= 1, r
2
= 1, ,
tì r
i
= 1 ọ ệ tứ

í ụ ó C ợ ết t ố ớ tử
s a ó ể ễ C = a| ớ ệ tử ị ĩ rỗ ổ qt
ó tự F
S
ớ sở tự S ó ể ễ F = S|.
ó ữ C
n
ó ó ể ễ C
n
= a|a
n
= 1.
í tự
ị ĩ sử H K ó ó ợ ọ tí tự
ủ H K ế ó ồ i
H
: H L i
K
: K L t
ề ệ s ớ ọ ồ : H G : H G
tr ó G ó t ì tì ó t ồ : L G s
= i
H
= i
K
ó ể ồ
H L K
G

i
H






!

i
K





t õ ể ồ ễ t r tí tự ủ H K
t s ột í ệ ó H K.
ễ t r tí tự tồ t ì t ó tể ết r ể ễ
H K sử H K ợ ở ể ễ H = S|D K = T |E
t ổ ột tr ữ ế tết t ó tể tết S
T ờ tứ S T = ì ể ễ H K ó
H K = S T |D E
ị ĩ ò ỏ i
H
i
K
ữ ồ s ở
sự tr ữ tử s ề t ế
t ị ĩ : H K H t ứ s s t 1 ớ ọ s H
ọ t K tì ột ồ i
H
ồ ồ t tr H
ó i
H
t ũ ó H K = {1} tự i
K

ố ù ồ , tr ị ĩ ợ ở
(s) = (s) ớ ọ s S (t) = (t) ớ ọ t T tì ị
ột ồ từ ị ĩ t ị t

r ù ột ị ĩ tì tí tự H K ó tự ứ H
K ó H K ợ ọ tử tự ủ H K
í ụ Z
p
= |
p
= 1 Z
q
= |
q
= 1 tì
Z
p
Z
q
= , |
p
= 1,
q
= 1,

Z
p
Z
q
= , |
p
,
q
.
ột ể tứ ột từ tr H K ột tí ó
h
1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
k
m
tr ó h
i
H k
i
K q ớ t từ
ó tể ột h
1
k
m
ợ ể ễ tứ
ố ủ ể tứ ó tể ó ể tứ ó tể ó ột
tr ố h
1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
k
m
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
k
m
tr ó h
1

ợ ể ễ h
1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
tr ó k
m
ợ ể ễ
k
1
h
2
k
2
h
2
ã ã ã h
m
tr ó k
m
ợ ể ễ
ố tử ợ ể ễ ọ ộ ủ từ từ ể tứ
rỗ ó ộ ột ể tứ ợ ọ rút ọ ế
ỗ h
i
= 1
H
k
i
= 1
K
ể ễ ế ột ể tứ
ợ rút ọ ó sẽ ột ể tứ t ợ
ờ ột tr tử ộ ú ó ế h
i
= 1
H

ể tứ h
1
k
1
ã ã ã k
i1
h
i
k
i
ã ã ã h
m
k
m
ó tể t tế ể
tứ h
1
k
1
ã ã ã h
i1
(k
i1
k
i
)h
i+1
ã ã ã h
m
k
m
ó ít sự
ể ễ ù ó tử ế tụ t ố ù t
ế ột ể tứ rút ọ ể ễ ù ột ó tử
ú ý r ể tứ rỗ ể tứ ợ rút ọ
ừ í ở tr t ó ị í ó tể ứ tết tr
tr
ị ý ị í t
ỗ tử ủ H K ợ ể ễ ột ể tứ
t ó h
1
k
1
h
2
k
2
ã ã ã h
m
k
m
ớ h
i
= 1
H
k
i
= 1
K
ự

t ở ó ĩ ế ể tứ tr H K ụ tể
h
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
= h

1
k

1
ã ã ã h

n
k

n
tr H K tì n = m ỗ h
i
= h

i
tr
H ỗ k
i
= k

i
tr K ớ ọ i = 1, 2, , m
í tự ớ ó
tổ qt ệ ự tí tự s sử H K ó ột
ó ì tế ó ột é ú : M H
: M K ố ó tự t ứ H K ó
ủ ú (M) (M) trù tứ H K = (M) = (M)
ị ĩ ó L ợ ọ tí tự ủ H K ớ ó
M ế ó i
H
: H L i
K
: K L s
i
H
= i
K
t ề ệ s ỗ ồ : H G
: K G s = tr ó G ó t ì tì ó
t ồ : L G t = i
H
= i
K
ó ể
ồ
M
H L K
G











i
H






!

i
K





õ ể ồ tr t ễ ỉ r r tí tự L ủ H K
ớ ó M t s ột í ệ
L = H
M
K
ũ ễ ỉ r r tí tự ớ ó tồ t ì t
ó tể ết r ể ễ L = H
M
K sử H K ợ ở ể
ễ H = S|D K = T |E sử M = Q|V t ổ
ột tr ữ ế tết t ó tể tết S T = ì ể
ễ H
M
K t ợ ở sự t ù ồ t ủ

M ó
H
M
K = S T |D E, (q) = (q), q Q.
i
H
i
K
ò ỏ ồ s t ộ tử
s ề ữ t ó tể ỉ r HK = (M) = (M)
ố ù ồ tr ị ĩ ợ ở
(s) = (s), s S (t) = (t), t T tì ị ột ồ
ồ t t ị ĩ r trờ ợ M ó
t tờ tì H
M
K q ề tí tự H K
ó í ệ ù ợ tờ ợ sử ụ ó
A = (M) H B = (M) K
tì A, B ớ q ồ =
1
: A B ó
tí tự ớ ó A = B tờ ợ í ệ H
A=B
K
ợ ể ễ ớ t s
H
A=B
K = S T |D E, a = (a), a (Q).
í ụ ét ó H = c| K = d| ớ
ó t ứ A = c
2
B = d
3
A B ớ
q c
2
d
3
tì tí tự t ứ ủ ú
G = H
A=B
K = c, d| c
2
= d
3
.
ể sử ụ ó ệ q tí tự ớ ó t ột ể
tứ í t t ỗ tử ữ
ể tí t ú ũ ể ứ ữ ể tứ
G = H
A=B
K ột tí tự ớ ó í ệ ột từ
ột ể tứ ũ ố tr tí tự õ r
ỗ tử g G ột ể tứ ó ó ột số
ú ý tết t ết H K ợ ú G
ì tế t ể tứ ó tự ở tr G

ó ột ể tứ h
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
ủ ột tí tự ỗ t
ọ ợ rút ọ ế h
i
A = (M) k
i
K = (M) ể ễ
sử r ể tứ h
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
ợ rút ọ tứ ó
h
i
= a
i
A r ể tứ t ó tể t tế h
i
= a
i
A ở t
ứ b
i
= (a
i
) ể t ợ s ợ t ể tứ
h
1
k
1
ã ã ã h
i1
(k
i1
b
i
k
i
)h
i+1
ã ã ã h
m
k
m
,
ó ít sự ò ể ễ ột ó tử tự ế
k
i
K t ó tể t tế ó ở t ứ a
i
ợ t t ột ể
tứ ó ít sự s ớ ể tứ ế tụ t
ố ù t ế ột ể tứ ể ễ ù ột ó
tử ợ rút ọ ột tử ủ
A = B
ờ t ét ột í ụ ứ từ trớ
G = H
A=B
K = c, d| c
2
= d
3
.
ớ r từ c
3
d
5
cd
2
ề từ ợ rút ọ t tr
G t ó c
3
d
5
= cc
2
d
5
= cd
3
d
5
= cd
2
ó từ từ
tr G ó ú ể ễ ù ó tử ì tế rút ọ
ủ ể t ột í t t
ể qết ề t tế tụ s t t ọ Y
t ệ ớ é ủ A tr H Y ứ ỉ ột tử ợ
ọ ớ ể ễ từ ỗ ớ é Ah tr ó h H ố tợ
ể t ề ệ ợ ọ ể ể ễ A t ó
tự t ọ Z t ệ ớ é ủ B tr K ị ĩ
ột í t ột tử ủ A = B ột ể tứ
ó ah
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
ớ 1 = h
i
Y 1 = k
i
Z ể ễ
a A ò h
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
ột ể tứ t từ ó
ố tr tí tự ì tế ột t ột tí
ủ tử ủ t Y Z tt sự ệt từ ì
tế ể tứ ợ rút ọ ợ ứ trớ ở ột tử ủ A = B

r trờ ợ h
1
ợ ể ễ t tờ sử ụ b = (a) t
tế ết bk
1
ã ã ã h
m
k
m
ột ó tử ì a = b tr G
ỉ r r ọ tử w G ợ ể ễ ở ột t
sử t ó ột ể tứ rút ọ w ệ từ
q tr q từ ế ổ ó t ột t ì tế t ó tể
tết h
1
k
1
ã ã ã k
i1
h
i
k
i
ã ã ã h
m
k
m
ợ rút ọ ỗ số ó t ớ
ụ tể h
i
ột tử tộ Y Z ệt ớ ờ t
ết h
i
= ah

i
tr ó a A h

i
Y. ớ r h

i
= 1 h
i
A ở ì
ể tứ ợ rút ọ b = (a) K ớ r a = b tr ó
ờ t t tế ể tứ ệ ở ể tứ ợ sử
h
1
k
1
ã ã ã h
i1
(k
i1
b)h

i
k
i
ã ã ã h
m
k
m
ò ó tử
ó ò ợ rút ọ ì k
i1
B é t k
i1
b B ế tụ t
t t ợ ột t ó tử w
ớ r t ủ w ó ù ộ ể tứ rút ọ
t t t ợ w
ừ í tr t ó ị í ó tể ứ tết tr
tr
ị ý ị í t ỗ tử ủ G = H
A=B
K
ó ột t t ah
1
k
1
h
m
k
m
ớ 1 = h
i
Y tr ó
1 = k
i
Z ể ễ a A ở Y Z t ệ
ớ é ợ ọ ở tr ề ị t ở ó ĩ
ế ó ể tứ tr H K ụ tể
ah
1
k
1
ã ã ã h
m
k
m
= a

h

1
k

1
ã ã ã h

n
k

n
,
tì n = m ỗ h
i
= h

i
k
i
= k

i
a = a




ó q
r t ứ ề q trọ t ủ ó
ể ễ ó G(p, q) ị í ỉ r í t
ỗ tử ủ ó G(p, q) ị í
ể ễ ó q
ị ĩ số p, l, q ị ĩ é
q A = R
2/p
x
L = R
2/l
y
S = R
2/4
y
B = R
2/q
z
r ó R
2/p
x
é
q q trụ ớ ó q 2/p ọ G(p, l, q) = A, L, B ó
s ở é q A L B G(p, q) = G(p, 1, q) = A, B ó
s ở é q A, B
ị ý ế p, q 3 ề tì G(p, q) ớ tí tự
Z
p
Z
q
= , |
p
= 1,
q
= 1.
ế p 4 q 3 tì G(p, q) ớ ó ó ể ễ
, |
p
= 1,
q
= 1,
p/2

p/2
= 1.
ế p 4 q = 2s ớ s 3 tì G(p, q) ớ ó
ó ể ễ
, |
p
= 1,
q
= 1,
p/2

p/2
= 1,
q/2

q/2
= 1.

ế p, q ù ết tì
G(p, q) = G([p, q], 4, 1).
[p, q] ộ số ỏ t ủ p q
ể ứ ị í trớ ết t ứ ổ ề q trọ s
ổ ề m = s2
t
s t 0 t ị ĩ T = R
2/m
x
ế
W, E G(4, 4, 1), 4a
j
= 0 (mod m) b
j
n 0 tì
W S
b
1
T
a
1
S
b
2
T
a
2
ã ã ã S
b
n
T
a
n
= I,
tr ó I tr ị
ứ ệ ứ ổ ề ợ tế s t
t ỉ r m tr ổ ề tr ó tể tí ợ ớ m =
s2
t
ớ t = 0 ó t x = e
2i/m
y = x
s
z = x
2
t
t
ỉ r ỗ tử ủ R = Z[x] = Z[y, z] ợ ết t ớ

2
t
1
j=0
k
j
(z)y
j
, ớ k
j
(z) Z[z] ế t ụ ổ ề
ứ ỗ tr S
b
i
T
a
i
tr ị ố
ù ứ ổ ề
t t õ ổ ề t t ố ị trị ủ m ệ
q ủ ệ ụ ổ ề 4m ó t tí tổ qt t ó
tể tết m ết ì tí r ợ ớ
m = s2
t
ớ t = 0
t x = e
2i/m
y = x
s
z = x
2
t
tế tì t ó y
2
t
= z
s
= 1 ì
(s, 2
t
) = 1 tr Z s r Z
m
= Z
s
ì Z
2
t

t ũ (s, 2
t
) = 1 h, k Z ể hs + k2
t
= 1 s r
a = ahs + ak2
t
= us + v2
t
ớ u = ah, v = ak ớ ỗ số ũ
a Z ủ x ó u, v Z s x
a
= y
u
z
v
ừ ó Z[x] = Z[y, z] = R
ì x = y
h
z
k
Z[y, z] y = x
s
, z = x
2
t
Z[x] sử ụ
tứ y
2
t1
= 1 t ó tể ết ỗ tử ủ R ớ
2
t
1

j=0
k
j
(z)y
j
, ớ k
j
(z) Z[z].

Xem chi tiết: Về nhóm con của nhóm so(3) .pdf