Phuong trinh duong thang- 01

Chương III: phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng


Đ1:
Đ1:


Phương trình tổng quát của đường
Phương trình tổng quát của đường
thẳng
thẳng
1. Phương trình tổng quát của đường thẳng:
a) Định nghĩa:
Vectơ khác , có giá vuông góc với
đường thẳng được gọi là vectơ pháp tuyến
của đường thẳng
b) Nhận xét:
- Mỗi đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.
Các vectơ pháp tuyến này dều khác và cùng phương.
- Có duy nhất 1 dường thẳng qua I và nhận là vectơ pháp tuyến

1
n
2
n
3
n


n
0
0
n

c) Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm và vectơ
. Gọi là đường thẳng qua I và nhận là véctơ pháp
tuyến. Tìm điều kiện của x và y để M(x;y) nằm trên
);(
00
yxI
0);(


ban


n

Giải:
Giải:
M nằm trên khi và chỉ khi hay (*)
Ta có
Ta có
nên (*) tương đương với
nên (*) tương đương với
Đặt
Đặt


ta được phương trình
ta được phương trình
và được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng
và được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng
O
O
y
y
x
x

n

I
I
M
M

nIM


0. =nIM

);(
00
yyxxIM =
0)()(
00
=+ yybxxa
0
00
=+ byaxbyax
cbyax =
00
)0(0
22
+=++ bacbyax





Tóm lại
Tóm lại
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ, mọi đường thẳng
đều có phương trình tổng quát dạng:
đều có phương trình tổng quát dạng:
)0(0
22
+=++ bacbyax
)0(0
22
+=++ bacbyax
Ngược lại: Mỗi phương trình dạng
đều là phương trình tổng quát của một đường thẳng
xác định có vectơ pháp tuyến là
);( ban =


Ví dụ 1:
a) là phương trình tổng quát của đường
thẳng, có véctơ pháp tuyến là
053 =y
b) là phương trình tổng quát của đư
b) là phương trình tổng quát của đư
ờng thẳng, có véctơ pháp tuyến là
ờng thẳng, có véctơ pháp tuyến là
c) là phương trình của đường thẳng khi
c) là phương trình của đường thẳng khi
và chỉ khi , có một vectơ pháp tuyến là
và chỉ khi , có một vectơ pháp tuyến là
)3;0(=n

04)1( =++ myxm
);1( mmn +=

012 =+ kykx
0k
)2;1( =n


Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có 3 đỉnh A(-1;-1), B(-1;3),
C(2;-4). Viết phương trình tổng quát của đường cao AH
A
A
B
B
C
C
H
H
Giải:
Giải:
Đường cao AH là đường thẳng qua
Đường cao AH là đường thẳng qua
A(-1;1) và có vectơ pháp tuyến là
A(-1;1) và có vectơ pháp tuyến là
)7;3( =BC
Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là:
Vậy phương trình tổng quát của đường cao AH là:
3(x+1)-7(y+1) hay 3x-7y-4=0
3(x+1)-7(y+1) hay 3x-7y-4=0

Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát


y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
O
O
O
O
O
O

Đường thẳng
Đường thẳng
by + c= 0
by + c= 0
song song
song song
với trục Ox
với trục Ox
Đường thẳng
Đường thẳng
ax + c = 0
ax + c = 0
song song
song song
với trục Oy
với trục Oy
Đường thẳng
Đường thẳng
ax + by = 0
ax + by = 0
đi qua gốc tọa độ
đi qua gốc tọa độ


Bài tập
Bài tập
: Cho hai điểm A(a;0) và B(0;b) với
: Cho hai điểm A(a;0) và B(0;b) với
a) Viết PT tổng quát của đường thẳng d qua A và B
a) Viết PT tổng quát của đường thẳng d qua A và B
b) CMR PT tổng quát của d tương đương với phương trình
b) CMR PT tổng quát của d tương đương với phương trình
0ab
1=+
b
y
a
x
AB
y
y
x
x
O
O
B(0;b)
B(0;b)
A(a;0)
A(a;0)
Giải
Giải
:
:
a)Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến vuông góc với
a)Đường thẳng d có véctơ pháp tuyến vuông góc với
Ta có: Lấy thì
Ta có: Lấy thì
Hay là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d .
Hay là véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d .
Vậy d có phương trình tổng quát là
Vậy d có phương trình tổng quát là
b(x a) + a(y 0) = 0 hay bx + ay ab = 0
b(x a) + a(y 0) = 0 hay bx + ay ab = 0
);( baAB =
);( abn =

ABn

n

b) bx + ay ab = 0 bx + ay = ab
b) bx + ay ab = 0 bx + ay = ab

1=+
ab
ay
ab
bx
do
do
0ab

1=+
b
y
a
x


Ghi nhớ:
Ghi nhớ:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có phương trình
Đường thẳng đi qua hai điểm A(a;0) và B(0;b) có phương trình
1=+
b
y
a
x
)0;0( ba
Phương trình này được gọi là
Phương trình này được gọi là


phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Ví dụ
Ví dụ
: Viết PT tổng quát của đường thẳng đi qua A(-1;0) và B(0;2)
: Viết PT tổng quát của đường thẳng đi qua A(-1;0) và B(0;2)
Bài làm
Bài làm
Phương trình của đường thẳng AB theo đoạn chắn là
Do đó dạng tổng quát sẽ là: 2x y + 2 = 0
1
21
=+

yx


Chú ý: Xét đường thẳng có phương trình tổng quát là
ax+by+c=0
Nếu thì PT trên đưa được về dạng y = kx + m (*)
với và k được gọi là hệ số góc của đường thẳng

0b
b
c
m
b
a
k == ;
(*) được gọi là PT của theo hệ số góc

ý nghĩa hình học của hệ số
ý nghĩa hình học của hệ số
góc
góc

O
O
y
y
x
x
M
M
t
t



k = tan
k = tan

Xem chi tiết: Phuong trinh duong thang- 01